Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式及其前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-n，分別令n=1，n=2，n=3，能夠求出a₁，a₂，a₃的值．
（Ⅱ）由S_n=2a_n-n，得a_n=2a_n-1+1，所以a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2，n∈N^*），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式及其前n項和S_n．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-n，
令n=1，解得a₁=1．…（1分）
再分別令n=2，n=3，
解得a₂=3，a₃=7．…（4分）
（Ⅱ）∵S_n=2a_n-n，
∴S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2，n∈N^*），
兩式相減得a_n=2a_n-1+1，…（6分）
∴a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2，n∈N^*），…（8分）
∵a₁+1=2，
∴a_n+1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴，
∴，…（10分）
∵S_n=2a_n-n（n∈N^*），
∴S_n=2a_n-n=2ⁿ⁺¹-n-2，（n∈N^*）．…（12分）
點評：本題考查數(shù)列通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意迭代法、構造法的合理運用．