(Ⅰ)依題設(shè)l1、l2的斜率都存在,因為l1過點P(- ,0)且與雙曲線有兩個交點,故方程
①k1≠0有兩個不同的解
整理得(k12-1)x2+2 k12x+2k12-1=0 ②
若k12-1=0,則方程組①只有一個解,即l1與雙曲線只有一個交點與題設(shè)
矛盾,故k12-1≠0即k12≠1
所以方程②的判別式Δ=(2 k12)2-4(k12-1)(2k12-1)=4(3k12-1)
又設(shè)l2的斜率為k2,l2過點P(- ,0)且與雙曲線有
兩個交點,故方程組
③有兩個不同的解
整理得(k22-1)x2+2 k22x+2k22-1=0 ④
同理有k22-1≠0,Δ=4(3k22-1)
因為l1⊥l2,所以k1·k2=-1
所以l1、l2與雙曲線各有兩個交點等價于
整理得
∴k1∈(- ,-1)∪(-1, )∪( ,1)∪(1, )
(Ⅱ)(理)設(shè)A1(x1,y1)、B1(x2,y2)由方程②知
.
所以|A1B1|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k12)(x1-x2)2
= ⑤
同理,由方程④可得
|A2B2|2= ⑥
由|A1B1|= |A2B2|得|A1B1|2= |A2B2|2,
將⑤、⑥代入上式得

解得k1=± .
取k1= 時,
l1:y= (x+ ),l2:y=- (x+ );
取k1=- 時,
l1:y=- (x+ ),l2:y= (x+ ).
(Ⅱ)(文)雙曲線y2-x2=1的頂點為(0,1)、(0,-1).
取A1(0,1)時,有:k1(0+ )=1,∴k1= ,從而k2=- =- .
將k2=- 代入④,得x2+4 x+3=0 ⑦
記直線l2與雙曲線的兩交點為A2(x1,y1)、B2(x2,y2)
則|A2B2|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=3(x1-x2)2=3[(x1+x2)2-4x1x2]
由⑦,知x1+x2=-4 ,x1·x2=3,∴|A2B2|2=60
即|A2B2|=2 .
當(dāng)取A1(0,-1)時,由雙曲線y2-x2=1關(guān)于x軸的對稱性,知|A2B2|=2 .
所以l1過雙曲線的一個頂點時,|A2B2|=2 .
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