分析 (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求出a,b的值,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出,
(2)當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2>2e,設(shè)1<x1<e<x2,當(dāng)x2≥2e時,顯然x1+x2>2e,當(dāng)e<x2<2e時,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明
解答 解:(1)f′(x)=a(1−lnx)x2,
∵函數(shù)f(x)圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=x-1,
∴{f(1)=b=0f′(1)=a=1,
∴f(x)=lnxx,定義域為(0,+∞),
∴f′(x)=1−lnxx2
∴x∈(0,e),f′(x)>0,x∈(e,+∞),f′(x)<0,
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,e),單調(diào)減區(qū)間是(e,+∞);
(2)當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2>2e,
下面證明結(jié)論,
當(dāng)x>e時,f(x)=lnxx>0,由(1)可知f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,e),單調(diào)減區(qū)間是(e,+∞),
又f(1)=0,
∴若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),則x1,x2都大于1,且必有一個小于e,一個大于e,
設(shè)1<x1<e<x2,
當(dāng)x2≥2e時,顯然x1+x2>2e,
當(dāng)e<x2<2e時,
∴f(x1)-f(2e-x2)=f(x2)-f(2e-x2)=lnx2x2-ln(2e−x2)2e−x2,
設(shè)g(x)=lnxx-ln(2e−x)2e−x,e<x<2e,
∴g′(x)=1x2(2e−x)2•{4e(e-x)(1-lnx)+x2[(2-ln(-(x-e)2+e2]},
∵e<x<2e,
∴0<-(x-e)2+e2<e2,
∴2-ln(-(x-e)2+e2>0
∵4e(e-x)(1-lnx)>0,
∴g′(x)>0,
∴g(x)在(e,2e)上單調(diào)遞增,
∴g(x)>g(e)=0,
∴f(x1)>f(2e-x2),
∵1<x1<e<x2,
∴0<2e-x2<e,
∵f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,
∴x1>2e-x2,
∴x1+x2>2e,
綜上所述,當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2>2e
點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于難題
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 4 | C. | 5 | D. | 6 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | √3 | B. | √5 | C. | 5 | D. | 25 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 10 | B. | -10 | C. | 20 | D. | -20 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 12(→a+→) | B. | 13( →a+→) | C. | 16( →a+\overrightarrow) | D. | 18( →a+→) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com