Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

5x2+16x+23

，L為曲線C：y=f（x）在點（-1，

1

12

）處的切線．
（1）求L的方程；
（2）當(dāng)x＜-

1

5

時，證明：除切點（-1，

1

12

）之外，曲線C在直線L的下方；
（3）設(shè)x₁，x₂，x₃∈R，且滿足x₁+x₂+x₃=-3，求f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=-1時的導(dǎo)數(shù)，然后由直線方程的點斜式得答案；
（2）利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法把問題轉(zhuǎn)化為證明?x∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

5

)，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)g(x)=5x3+11x2+7x+1(x≤

1

5

)，
由導(dǎo)數(shù)證明?x∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

5

)，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立；
（3）分當(dāng)x1＜-

1

5

，x2＜-

1

5

，x3＜-

1

5

時和當(dāng)x₁，x₂，x₃中至少有一個大于等于-

1

5

時結(jié)合（2）中的結(jié)論求得f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最大值．

解答： （1）解：∵f（x）=

1

5x2+16x+23

，
∴f′(x)=-

10x+16

(5x2+16x+23)2

，
∴f′(-1)=-

1

24

．
∴L的方程為y-

1

12

=-

1

24

(x+1)，即y=-

1

24

x+

1

24

；
（2）證明：要證除切點（-1，

1

12

）之外，曲線C在直線L的下方，
只需證明?x∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

5

)，

1

5x2+16x+23

＜-

1

24

x+

1

24

恒成立．
∵5x²+16x+23＞0，
∴只需證明?x∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

5

)，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立即可．
設(shè)g(x)=5x3+11x2+7x+1(x≤

1

5

)，
則g′（x）=15x²+22x+7=（x+1）（15x+7）．
令g′（x）=0，解得x₁=-1，x2=-

7

15

．
當(dāng)x∈(-∞，-1)，(-

7

15

，-

1

5

)時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈(-1，-

7

15

)時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴明?x∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

5

)，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立；
（3）①當(dāng)x1＜-

1

5

，x2＜-

1

5

，x3＜-

1

5

時，
由（2）知，f(x1)=

1

5x12+16x1+23

≤-

1

24

x1+

1

24

，
f(x2)=

1

5x22+16x2+23

≤-

1

24

x2+

1

24

，
f(x3)=

1

5x32+16x3+23

≤-

1

24

x3+

1

24

．
三式相加得：f(x1)+f(x2)+f(x3)≤-

1

24

(x1+x2+x3)+

1

8

．
∵x₁+x₂+x₃=-3，
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)≤

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=x₃=-1時取等號．
②當(dāng)x₁，x₂，x₃中至少有一個大于等于-

1

5

時，
不妨設(shè)x1≥-

1

5

，則5x12+16x1+23=5(x1+

8

5

)2+

51

5

≥5(-

1

5

+

8

5

)2+

51

5

=20，
∵5x22+16x2+23=5(x2+

8

5

)2+

51

5

≥

51

5

，5x32+16x3+23=5(x3+

8

5

)2+

51

5

≥

51

5

，
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)≤

1

20

+

5

21

+

5

21

＜

1

4

．
綜上所述，當(dāng)x₁=x₂=x₃=-1時，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）取到最大值

1

4

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，綜合考查了學(xué)生的計算能力和靈活思維問題和解決問題的能力，是壓軸題．