Question

已知函數(shù)f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用,冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，求出m，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，∴-2m²+m+3為偶數(shù)，
又f（3）＜f（5），∴3-2m2+m+3＜5-2m2+m+3，即有：(

3

5

)-2m2+m+3＜1，
∴-2m²+m+3＞0，∴-1＜m＜

3

2

，又m∈Z，∴m=0或m=1．
當(dāng)m=0時(shí)，-2m²+m+3=3為奇數(shù)（舍去），
當(dāng)m=1時(shí)，-2m²+m+3=2為偶數(shù)，符合題意．
∴m=1，f（x）=x²
（2）由（1）知：g（x）=log_a[f（x）-ax]=log_a （x²-ax） （a＞0且a≠1）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)．
令u（x）=x²-ax，y=log_au； 
①當(dāng)a＞1時(shí)，y=log_au為增函數(shù)，只需u（x）=x²-ax在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)．
即：

a 2 ≤2 u(2)=4-2a＞0

⇒1＜a＜2
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=log_au為減函數(shù)，只需u（x）=x²-ax在區(qū)間[2，3]上為減函數(shù)．
即：

a 2 ≥3 u(3)=9-3a＞0

⇒a∈∅，
綜上可知：a的取值范圍為：（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．