Question

10．已知直線l：y=-x+3與橢圓C：mx²+ny²=1（n＞m＞0）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（2，1）．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若直線l′：y=-x+b交C于A，B兩點(diǎn)，且PA⊥PB，求b的值．

Answer 1

分析 （I）聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用判別式為0，再將P的坐標(biāo)代入橢圓方程，解方程可得m，n，進(jìn)而得到橢圓方程；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線y=b-x和橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理，再由A，B在直線上，代入直線方程，由垂直的條件，運(yùn)用向量的數(shù)量積為0，化簡整理，解方程可得b的值．

解答 解：（I）聯(lián)立直線l：y=-x+3與橢圓C：mx²+ny²=1（n＞m＞0），
可得（m+n）x²-6nx+9n-1=0，
由題意可得△=36n²-4（m+n）（9n-1）=0，即為9mn=m+n，
又P在橢圓上，可得4m+n=1，
解方程可得m=$\frac{1}{6}$，n=$\frac{1}{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線y=b-x和橢圓方程，可得3x²-4bx+2b²-6=0，
判別式△=16b²-12（2b²-6）＞0，
x₁+x₂=$\frac{4b}{3}$，x₁x₂=$\frac{2^{2}-6}{3}$，
y₁+y₂=2b-（x₁+x₂）=$\frac{2b}{3}$，y₁y₂=（b-x₁）（b-x₂）=b²-b（x₁+x₂）+x₁x₂=$\frac{^{2}-6}{3}$，
由PA⊥PB，即為$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）
=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=$\frac{2^{2}-6}{3}$-2•$\frac{4b}{3}$+$\frac{^{2}-6}{3}$-$\frac{2b}{3}$+5=0，
解得b=3或$\frac{1}{3}$，代入判別式，b=3不成立．
則b=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法和方程思想，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立方程組，運(yùn)用判別式和韋達(dá)定理，同時(shí)考查兩直線垂直的條件，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．