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8.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,且傾斜角為\frac{π}{4}的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則M到直線11:5x-4y+4=0和l2:x=-\frac{2}{5}的距離之和的最小值為( �。�
A.\frac{6\sqrt{41}}{41}B.\frac{6\sqrt{31}}{31}C.\frac{3\sqrt{41}}{41}D.\frac{3\sqrt{31}}{31}

分析 可以求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),從而可以寫(xiě)出弦AB所在直線方程為y=x-\frac{p}{2},可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程和拋物線方程聯(lián)立消去x可得到關(guān)于y的一元二次方程,由韋達(dá)定理即可求出弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(\frac{3p}{2},p),而弦AB的垂直平分線方程可寫(xiě)出為y-2=-x,弦中點(diǎn)坐標(biāo)帶入該方程便可求出p的值.過(guò)點(diǎn)M分別作MB⊥l1,MA⊥l2,垂足分別為B,A.由拋物線的定義可得|MA|=|MF|,求|MA|+|MB|轉(zhuǎn)化為求|MB|+|MF|,當(dāng)三點(diǎn)M,B,F(xiàn)共線時(shí),|MB|+|MF|取得最小值.利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

解答 解:拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(\frac{p}{2},0),過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為\frac{π}{4}的直線方程為:y=x-\frac{p}{2},設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2);
\left\{\begin{array}{l}{x=y+\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.得,y2-2py-p2=0;
∴y1+y2=2p,x1+x2=3p;
∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(\frac{3p}{2},p)
弦AB的垂直平分線方程為y-2=-x,弦AB的中點(diǎn)在該直線上;
∴p-2=-\frac{3p}{2},解得p=\frac{4}{5}
(2)過(guò)點(diǎn)M分別作MB⊥l1,MA⊥l2,垂足分別為B,A.l2:x=-\frac{2}{5}是拋物線y2=\frac{8}{5}x的準(zhǔn)線方程.
拋物線y2=\frac{8}{5}x的焦點(diǎn)為F(\frac{2}{5},0),
由拋物線的定義可得|MA|=|MF|,
∴|MA|+|MB|=|MB|+|MF|,當(dāng)三點(diǎn)M,B,F(xiàn)共線時(shí),|MA|+|MB|取得最小值.
其最小值為點(diǎn)F到直線l1的距離\frac{6}{\sqrt{25+16}}=\frac{6\sqrt{41}}{41}
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義及其性質(zhì)、三點(diǎn)共線、點(diǎn)到直線的距離公式,考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

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