Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+a）．
（Ⅰ）當a=1時，若f（x）+f（x-1）＞0成立，求x的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在R上奇函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=-g（x），且當0≤x≤1時，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的解析式，并寫出g（x）在[-3，3]上的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的g（x），若關于x的不等式g（

t-2x

8+2x+3

）≥g（-

1

2

）在R上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）當a=1時，f（x）+f（x-1）＞0可化為

x＞0 x+1＞0 x(x+1)＞1

，解不等式組可得答案．
（II）根據(jù)已知可得a=1，進而根據(jù)當x∈[-2，-1]時，x+2∈[0，1]，當x∈[-3，-2]時，x+2∈[-1，0]，-（x+2）∈[0，1]，當0≤x≤1時，g（x）=f（x），可得g（x）在[-3，-1]上的解析式，進而分析出g（x）在[-3，3]上的單調(diào)區(qū)間；
（III）關于x的不等式g（

t-2x

8+2x+3

）≥g（-

1

2

）在R上恒成立，即u=

t-2x

8+2x+3

∈[-

1

2

.

5

2

]，分類討論后，綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=log₂（x+1）．
∴f（x-1）=log₂x，
∴f（x）+f（x-1）=log₂（x+1）+log₂x=log₂[x（x+1）]，
若f（x）+f（x-1）＞0，則

x＞0 x+1＞0 x(x+1)＞1

，
解得：x∈（

5 -1

2

，+∞），
即x的取值范圍為（

5 -1

2

，+∞）；
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）是定義在R上奇函數(shù)，
故g（0）=0，
又∵當0≤x≤1時，g（x）=f（x）=log₂（x+a）．
故a=1，
當x∈[-2，-1]時，x+2∈[0，1]，
∴g（x）=-g（x+2）=-log₂（x+3）．
當x∈[-3，-2]時，x+2∈[-1，0]，-（x+2）∈[0，1]，
∴g（x）=-g（x+2）=g[-（x+2）]=log₂[-（x+2）+1]=log₂（-x-1）．
故g（x）=

log2(-x-1)，x∈[-3，-2] -log2(x+3)，x∈[-2，-1]

，
g（x）在[-3，-1]和[1，3]上遞減，在[-1，1]上遞增；
（III）記u=

t-2x

8+2x+3

=-

1

8

+

t+1

8+2x+3

，
當t+1≥0時，u∈（-

1

8

，-

1

8

+

t+1

8

）=（-

1

8

，

t

8

），
由g（

t-2x

8+2x+3

）≥g（-

1

2

）在R上恒成立可得：（-

1

8

，

t

8

）∈[-

1

2

.

5

2

]，
解得：t∈[-1，20]．
當t+1＜0時，u∈（-

1

8

+

t+1

8

，-

1

8

）=（

t

8

，-

1

8

），
由g（

t-2x

8+2x+3

）≥g（-

1

2

）在R上恒成立可得：（

t

8

，-

1

8

）∈[-

1

2

.

5

2

]，
解得：t∈[-4，-1）．
綜上所述實數(shù)t的取值范圍為[-4，20]．

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對數(shù)不等式的解法，求函數(shù)的解析式，恒成立問題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度較大，屬于難題．