Question

向量

a

=（

3

sin

x

2

，cos

x

2

），

b

=（cos

x

2

，cos

x

2

），記f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

4

]時，試求f（x）+f′（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，結(jié)合二倍角的正弦、余弦公式和輔助角公式進行化簡整理，可得f（x）=sin（x+

π

6

）+

1

2

，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解之即得f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的公式，并用輔助角公式化簡得f（x）+f′（x）=

2

sin（x+

5π

12

）+

1

2

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

4

]時函數(shù)f（x）+f′（x）的值域．

解答：解：f(x)=

a

•

b

=

3

sin

x

2

c•os

x

2

+cos

x

2

•cos

x

2

）
=

3

2

sinx+

1

2

（1+cosx）=sin（x+

π

6

）+

1

2

，
（1）令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解之得-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是[-

2π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，（k∈Z）
（2）對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=cos（x+

π

6

）
∴F（x）=f（x）+f′（x）=sin（x+

π

6

）+

1

2

+cos（x+

π

6

）=

2

sin（x+

5π

12

）+

1

2

∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴x+

5π

12

∈[

π

4

，

2π

3

]
因此，當(dāng)x=

π

12

時，sin（x+

5π

12

）=1，此時F（x）有最大值為

2

+

1

2

；
當(dāng)x=-

π

6

時，sin（x+

5π

12

）=

2

2

，此時F（x）有最小值為

3

2

所以函數(shù)F（x）=f（x）+f′（x）的值域為：[

3

2

，

2

+

1

2

]．

點評：本題考查了二倍角的正弦與余弦公式、輔助角公式、向量的數(shù)量積公式和正弦函數(shù)的圖象與單調(diào)性等知識，屬于基礎(chǔ)題．