Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線B是過點(diǎn)P（-1，1），傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線，以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線A的極坐標(biāo)方程是${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$．
（1）求曲線A的普通方程和曲線B的一個(gè)參數(shù)方程；
（2）曲線A與曲線B相交于M，N兩點(diǎn)，求|MP|+|NP|的值．

Answer 1

分析 （1）由曲線A的極坐標(biāo)方程得到ρ²（3+sin²θ）=12，由此能求出曲線A的普通方程，由曲線B是過點(diǎn)P（-1，1），傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線，能求出曲線B的一個(gè)參數(shù)方程．
（2）設(shè)|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，把$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中得，$\frac{7}{2}{t^2}+\sqrt{2}t-5=0$，由此利用韋達(dá)定理能求出|MP|+|NP|的值．

解答 解：（1）∵${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，
∴ρ²（3+sin²θ）=12，
即曲線A的普通方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
∵曲線B是過點(diǎn)P（-1，1），傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線，
∴由題得，曲線B的一個(gè)參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）設(shè)|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，
把$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中，
得$3{（{-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}+4{（{1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}=12$，整理得，$\frac{7}{2}{t^2}+\sqrt{2}t-5=0$，
∴${t_1}+{t_2}=-\frac{{2\sqrt{2}}}{7}，{t_1}{t_2}=-\frac{10}{7}$，
∴$|{MP}|+|{NP}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線參數(shù)方程的求法，考查線段和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．