Question

已知函數(shù)f（x）對任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂，滿足2f（x₁）•f（x₂）=f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）且f（0）≠0，則f（0）=________，此函數(shù)為________函數(shù)（填奇偶性）．

Answer 1

1    偶
分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的對應(yīng)法則，取x₂=0代入化簡可得2f（x₁）[f（0）-1]=0，結(jié)合2f（x₁）≠0即可得到f（0）=1．再令x₁=-x且x₂=x，代入化簡可得f（-2x）=2f（x）•f（-x）-1；同理得到f（-2x）=2f（x）•f（-x）-1，因此f（-2x）=f（2x），根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得函數(shù)為偶函數(shù)．
解答：取x₂=0，得2f（x₁）•f（0）=f（x₁）+f（x₁）
即2f（x₁）•f（0）=2f（x₁），可得2f（x₁）[f（0）-1]=0
∵x₁是任意的實(shí)數(shù)，可得2f（x₁）≠0
∴f（0）-1=0，解之得f（0）=1
∵x₁=x且x₂=-x，得2f（x）•f（-x）=f（0）+f（2x）
∴f（2x）=2f（x）•f（-x）-f（0）=2f（x）•f（-x）-1
再令x₁=-x且x₂=x，得2f（-x）•f（x）=f（0）+f（-2x）
可得f（-2x）=2f（x）•f（-x）-f（0）=2f（x）•f（-x）-1
因此，f（-2x）=f（2x），用代替x，可得f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
故答案為：1，偶
點(diǎn)評：本題給出抽象函數(shù)，求f（0）之值并討論函數(shù)的奇偶性，著重考查了函數(shù)奇偶性的定義和運(yùn)用賦值法求函數(shù)值等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．