Question

若不等式a（2x²+y²）≥x²+2xy對任意非零實數x，y恒成立，則實數a的最小值為______．

Answer 1

由題意可得：不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）對于任意非零實數x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x²-2xy+ay²≥0對于任意非零實數x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（

x

y

）²-2•

x

y

+a≥0對于任意非零實數x，y恒成立，
設t=

x

y

，所以（2a-1）t²-2t+a≥0對于一切t∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
設f（t）=（2a-1）t²-2t+a，t∈（-∞，0）∪（0，+∞），
①a=

1

2

時，顯然不符合題意，故舍去．
②當a≠

1

2

時，函數的對稱軸為t₀=

1

2a-1

，
所以由題意可得：

2a-1＞0 △=4-4(2a-1)a≤0

，解得a≥1．
故答案為1．