已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=120°．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）設(shè)AC與BD交于點O，M為OC中點，若二面角O-PM-D的正切值為2
6
，求線段PA的長．

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定，證明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，證明平面PBD⊥平面PAC．
（2）過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，則∠OHD為A-PM-D的平面角，利用二面角O-PM-D的正切值為2
6
，即可求出PA的長．
解答： （1）證明：∵四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵底面ABCD是邊長為4的菱形，
∴BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
又BD?平面PBA，∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）解：過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，
因為DO⊥平面PAC，由三垂線定理可得DH⊥PM，
所以∠OHD為A-PM-D的平面角，
設(shè)PA=b，∵底面ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=120°，
∴OD=2
3
，OM=1，AM=3，且
OH
OM
=
AP
PM
，
從而OH=
OM•AP
PM
=
1•b
b2+
9
4
=
2b
4b2+9
，
∴tan∠OHD=
OD
OH
=
3(16b2+36)
2b
，
所以16b2=144，解得b=3．（舍負值）
∴PA的長為3．
點評：本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)集合A={（x1，x2，x3，x4）|xi∈{-1，0，1}，i=1，2，3，4}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤3”的元素個數(shù)為
 
．

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1
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x2
a2
-
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2
2
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．

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