Question

3．已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，$\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AC}$，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與 BC相交于點(diǎn)E，E為BC的中點(diǎn)．由$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，可得$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OE}$，點(diǎn)O是直線AE的中點(diǎn)．根據(jù)$\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AC}$，B，O，D三點(diǎn)共線，可得點(diǎn)D是BO與AC的交點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)O作OM∥BC交AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．即可得出．

解答 解：以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與 BC相交于點(diǎn)E，E為BC的中點(diǎn)．
∵$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OE}$，
∴點(diǎn)O是直線AE的中點(diǎn)．
∵$\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AC}$，B，O，D三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)D是BO與AC的交點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)O作OM∥BC交AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．
則OM=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{4}$BC，$\frac{DM}{DC}$=$\frac{1}{4}$，
∴DM=$\frac{1}{3}$MC，
∴AD=$\frac{2}{3}$AM=$\frac{1}{3}$AC，
∴t=$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、向量三角形與平行四邊形法則、平行線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．