已知橢圓的焦距為4，且過點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為。取點,連接，過點作的垂線交軸于點。點是點關(guān)于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.

【解析】

 （1）因為橢圓過點

          且 

        橢圓C的方程是

（2）

由題意，各點的坐標如上圖所示，

則的直線方程：

化簡得

又，

所以帶入

求得最后

所以直線與橢圓只有一個公共點.

【考點定位】考查橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，并考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力及運算能力.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2013年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（安徽卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓的焦距為4，且過點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為。取點,連接，過點作的垂線交軸于點。點是點關(guān)于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年河北省高二上學期期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為的直線經(jīng)過點，與橢圓交于不同兩點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當橢圓的右焦點在以為直徑的圓內(nèi)時，求的取值范圍.

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

已知橢圓的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為的直線經(jīng)過點，與橢圓交于不同兩點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當橢圓的右焦點在以為直徑的圓內(nèi)時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年云南師大附中高考適應(yīng)性月考數(shù)學試卷4（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的焦距為4，設(shè)右焦點為F1，離心率為e．
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設(shè)A、B為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，AF1的中點為M，BF1的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上．
①證明點A在定圓上；
②設(shè)直線AB的斜率為k，若，求e的取值范圍．

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