正方體的棱長為,是它的內切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動點,當弦的長度最大時,的取值范圍是 .
解析試題分析:當弦MN經過圓心時,弦MN最長,此時,MN=2,。以A‘為原點,如圖,建立空間直角坐標,不妨設MN是上下底面對中心,則M(1,1,2),N(1,1,0),設P(x,y,z),則,因為P為正方體面上的點,根據x,y,z的對稱性可知,的取值范圍與點P在那個面上無關。不妨設,點P在底面內,此時有0≤x≤2,0≤y≤2,z=0,所以此時,當x=y=1時,=0,此時最小。當點P位于正方形的頂點時,最大,此時有,所以最大為2.
考點:平面向量的數量積;空間直角坐標系。
點評:此題的難度較大,主要考查學生最值的求法,靈活應用空間直角坐標系,設出點的坐標,把幾何問題轉化為代數問題來解決。
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