精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知
a
=（cosx，sinx），
b
=（cosβ，sinβ）
（1）求證：（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）；
（2）若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，（k＞0），將
a
與
b
數量積表示為關于k的函數f（k）；
（3）求f（k）的最小值及相應
a
，
b
夾角θ
分析：（1）直接代入數量積公式計算，求得數量積為0即可得到答案；
（2）把給出的等式兩邊去平方運算，展開后即可得到
a
•
b
；
（3）利用基本不等式求出f（k）的最小值，由向量的夾角公式求得答案．
解答：（1）證明：∵
a
=（cosx，sinx），
b
=（cosβ，sinβ）
∴（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=
a
2-
b
2=|
a
|2-|
b
|2=0．
∴（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）；
（2）解：∵|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，∴(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2
∴
a
•
b
=
k2+1
4k
，故f（k）=
1
4
(k+
1
k
) (k＞0)；
（3）由f（k）=
1
4
(k+
1
k
) (k＞0)，
∴f(k)≥4×2
k•
1
k
=
1
2
，當k=
1
k
，即k=1時，取等號，此時，
cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
1
2
，又∵0≤θ≤π，∴θ=
π
3
．
點評：本題考查了數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了平面向量的坐標運算，訓練了利用基本不等式求最值，考查了平面向量的夾角公式，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx-sinx，2cosx）．
（1）求證：向量
a
與向量
b
不可能平行；
（2）若f（x）=
a
•
b
，且x∈[-
π
4
，
π
4
]時，求函數f（x）的最大值及最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx+sinx，-2sinx），且f（x）=
a
.
b

（1）求f（x）的解析式，并用f（x）=Asin（wx+φ）的形式表示；
（2）求方程f（x）=1的解．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（cosx，sinx），
b
=（sinx，cosx），與f（x）=
a
•
b
要得到函數y=cos2x-sin2x的圖象，只需將函數y=f（x）的圖象（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(1-cosx，2sin
x
2
)，
b
=(1+cosx，2cos
x
2
)，設f(x)=2+sinx-
1
4
|
a
-
b
|2．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）若函數g（x）和函數f（x）的圖象關于原點對稱，
（�。┣蠛瘮礸（x）的解析式；
（ⅱ）若函數h（x）=g（x）-λf（x）+1在區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx-sinx，2cosx），設f（x）=
a
•
b

（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）由y=sinx的圖象經過怎樣變換得到y(tǒng)=f（x）的圖象，試寫出變換過程；
（3）當x∈[0，
π
2
]時，求函數f（x）的最大值及最小值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案