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12.設函數(shù)y=f(x)是定義在R上的可導函數(shù),當x≠0時,f(x)<-x2f′(x),則函數(shù)g(x)=f(x)-1x2的零點個數(shù)為( �。�
A.0B.1C.2D.0或 2

分析 令m(x)=x2f(x),根據(jù)當x≠0時,f(x)<-x2f′(x),求出m(x)的單調(diào)性,令h(x)=x2g(x)=x2f(x)-1,求出h(x)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的零點的個數(shù).

解答 解:∵滿足當x≠0時,f(x)<-x2f′(x),
∴2f(x)+xf′(x)<0,
令m(x)=x2f(x),則g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)],
∴當x>0時,g′(x)<0;當x<0時,g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)遞減,在(-∞,0)遞增,
令h(x)=x2g(x)=x2f(x)-1,
則h′(x)=m′(x),
∴當x>0時,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;當x<0時,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,
∴h(x)的最大值是h(0)=-1,
顯然g(x)的定義域是x≠0,
∴關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f(x)-1x2的零點個數(shù)是0個.
故選:A.

點評 本題通過構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)零點的個數(shù),屬于難題.

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3.已知偶函數(shù)f(x)(x≠0)的導函數(shù)為f′(x),且滿足f(1)=0,當x>0時,xf′(x)<2f(x),則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( �。�
A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)

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7.已知橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)短軸的兩個端點為A、B,點C為橢圓上異于A、B的一點,直線AC與直線BC的斜率之積為-14,則橢圓的離心率為( �。�
A.32B.3C.12D.34

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17.設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F的直線l與拋物線交于A,B兩點,M為拋物線C的準線與x軸的交點,若tanAMB=22,則|AB|=( �。�
A.4B.8C.32D.10

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4.對于n∈N*,將n表示為n=a02k+a12k1++ak121+ak20,
當i=0時,ai=1,
當1≤i≤k時,ai=0或1.
記I(n)為上述表示中a為0的個數(shù)(例如:1=1•20,4=1•22+0•21+0•20,所以I(1)=0,I(4)=2),
則(1)I(12)=2,(2)I(1)+I(2)+…+I(2048)=9228.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

1.已知橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,橢圓C過點M03,且△MF1F2為正三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)垂直于x軸的直線與橢圓C交于A、B兩點,過點P(4,0)的直線PB交橢圓C于另一點E,證明:直線AE與x軸相交于定點.

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2.已知函數(shù)f(x)=|14x2+12ax+14|(a>1)
(Ⅰ)(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
     (ii)若函數(shù)g(x)=f(x)-12x-a恰有三個零點,求a的值;
(Ⅱ)記M(a,t)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2](t∈R)上的最大值,求M(a,t)的最小值.

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