Question

17．已知點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=4x上相異兩點(diǎn)，且滿足x₁+x₂=2．
（Ⅰ）若直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（1，0），求|AB|的值；
（Ⅱ）若AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，M到直線AB的距離為d，且$\frac{|AB|}vbvanht$=$\sqrt{3}$，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （I）對(duì)AB有無(wú)斜率進(jìn)行討論，聯(lián)立方程組消元，根據(jù)x₁+x₂=2列方程判斷有無(wú)解；
（II）設(shè)AB方程y=kx+b，聯(lián)立方程組消元，根據(jù)x₁+x₂=2得出k，b的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式得出|AB|，求出AB的中點(diǎn)，得出AB的中垂線方程解出M的坐標(biāo)，根據(jù)$\frac{|AB|}yabcvlt$=$\sqrt{3}$列方程解出k，得出AB方程．

解答 解：（I）①若直線AB無(wú)斜率，則AB方程為x=1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
即A（1，2），B（1，-2）．
∴|AB|=4．
②若直線AB有斜率，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為：y=k（x-1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2，方程無(wú)解．
綜上，|AB|=4．
（II）設(shè)AB的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$=2，∴b=$\frac{2}{k}-k$．∴x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$=（$\frac{2}{{k}^{2}}$-1）²．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{4-4（\frac{2}{{k}^{2}}-1）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{{k}^{4}-1}}{{k}^{2}}$．
∵y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=2k+2b=$\frac{4}{k}$．∴AB的中點(diǎn)為C（1，$\frac{2}{k}$）．
∴AB的中垂線方程為y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-1），即x+ky-3=0．
∴M（3，0）．∴M到直線AB的距離d=|CM|=$\sqrt{（3-1）^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|}$，
∵$\frac{|AB|}uwicddb$=$\sqrt{3}$，∴$\frac{4\sqrt{{k}^{4}-1}}{{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|}$．即$\frac{2\sqrt{{k}^{2}-1}}{|k|}$=$\sqrt{3}$，
解得k=±2．
當(dāng)k=2時(shí)，b=-1，當(dāng)k=-2時(shí)，b=1．
∴AB的方程為y=2x-1或y=-2x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題．