Question

5．若一個函數(shù)恰有兩個零點，則稱這樣的函數(shù)為“雙胞胎”函數(shù)，若函數(shù)f（x）=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3（a＜0）為“雙胞胎”函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-$\frac{2}{3}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{2}{3}$）
• C． （-$\frac{2}{3}$，0）
• D． （-1，-$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知：函數(shù)恰有兩個零點，構(gòu)造函數(shù)y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|與y=a+3，則只需兩圖象有兩個交點，記g（x）=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，得出y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|，利用圖象有兩交點得出不等式a+3＞1-2a，求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3（a＜0）為“雙胞胎”函數(shù)，
∴函數(shù)恰有兩個零點，令f（x）=0，
∴|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|=a+3，
∴兩圖象有兩個交點，記g（x）=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$，
g'（x）=$\frac{a{x}^{2}-x-a+1}{{x}^{2}}$（x＞0），
令h（x）=ax²-x-a+1，
當a＜0時，h（x）=a（x-1）[x-（$\frac{1}{a}$-1）]×$\frac{1}{a}$-1＜0，
當x在（0，1）時，h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）遞增，
當x在（1，+∞）時，h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）遞減，
∴當a＜0時，g（x）的最大值為g（1）=2a-1；
由a＜0，得2a-1＜-1，
∴g（x）的圖象均在x軸下方，
∴y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|的圖象與g（x）的圖象關(guān)于x軸對稱，
即y的最小值為1-2a，在（0，1）遞減，（1，+∞）遞增，
∴a+3＞1-2a，
∴a＞-$\frac{2}{3}$，a＜0，
故選：C．

點評 考查了零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，難點是對函數(shù)的構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值．