Question

二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＜0）對一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），且f（1）=，f（x）的最大值為．
（1）求a和b，c的值；
（2）解不等式．

Answer 1

解：（1）∵f（2+x）=f（2-x）
∴二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＜0）的圖象關于直線x=2對稱．
∴f（2）=4a+2b+c=①且f（1）=a+b+c=②，③，聯立①②③解得：
a=-1，b=4，c=．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，2]上遞增，在[2，+∞）上遞減且c=．
∴，，
由原不等式得：，

故原不等式的解集是．
分析：（1）由f（2+x）=f（2-x）可知f（x）圖象關于x=2對稱，即=2，由最大值為得f（2）=，即4a+2b+c=，由f（1）=，得a+b+c=，聯立方程組解出即可；
（2）由（1）可求出f（x）的單調區(qū)間，根據單調性可去掉不等式中符號“f”，轉化為二次不等式組，解出即可，注意對數函數的定義域；
點評：本題考查二次函數的性質及復合函數的單調性，考查學生的計算能力及靈活運用知識解決問題的能力，屬中檔題．