函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x＞0時，f(x)＞1.

（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

（1）證明見解析（2）解集為（-1, ）


解析:

（1）設(shè)x1,x2∈R，且x1＜x2,

則x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.                                            2分

f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)

=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.                                     5分

∴f（x2）＞f(x1).

即f(x)是R上的增函數(shù).                                          7分

（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，

∴f（2）=3，                                               10分

∴原不等式可化為f(3m2-m-2)＜f(2),

∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2-m-2＜2,                                 12分

解得-1＜m＜,故解集為（-1, ）.                    14分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f(x)對任意的m、n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且當x＞0時，f(x)＞1.

(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；

(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)＜2.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1.

(1)若x∈N*,試求f(x)的表達式；

(2)若x∈N*，且x≥2時，不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且當x＞0時有f(x)＞0.

（1）求證：f(x)在（-∞,+∞)上為增函數(shù)；

（2）若f(1)=1,解不等式f［log2(x2-x-2)］＜2.

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年安徽省高二下學期期末考試數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+ f(b)-1,并且

當x＞0時，f(x)＞1.

（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年河北省保定市高二下學期第二次階段性考試數(shù)學 題型：選擇題

．已知奇函數(shù)f(x)對任意的正實數(shù)x1，x2(x1≠x2)，恒有

(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，則一定正確的是            (   　)

 A．f(4)>f(－6)                     B．f(－4)<f(－6)

C．f(－4)>f(－6)                    D．f(4)<f(－6)

 

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