Question

若定義在R上的可導函數(shù)y=f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），且（x-1）f′（x）＜0（x≠1），則“對于任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＞2”的（　�。�

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的概念及應用,簡易邏輯

分析：求出函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸，然后根據(jù)（x-1）f′（x）＜0，判定函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性對充分性和必要性分別加以驗證，即可得到本題答案

解答： 解：∵f（1+x）=f（1-x），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱，
∵（x-1）f′（x）＜0，
∴x＜1時，f'（x）＞0，可得函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當x＞1時，f'（x）＜0，可得函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
①當f（x₁）＞f（x₂）時，結(jié)合x₁＜x₂，
由函數(shù)單調(diào)性可得1＜x₁＜x₂，
或1＞x₁＞2-x₂，
即x₁+x₂＞2成立，故充分性成立；
②當x₁+x₂＞2時，因為x₁＜x₂，必有x₁＞2-x₂成立，
所以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要性成立
綜上所述，“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＞2”的充分必要條件，
故選：C

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．