Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E．
（1）過E做⊙O的切線，交AC與點D，證明：D是AC的中點；
（2）若CE=3AO，求∠ACB的大小．

Answer 1

分析 （1）利用圓的切線的性質(zhì)、弦切角與等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)即可證明．
（2）$sin∠ACB=\frac{2AO}{CE+BE}=\frac{2AO}{3AO+BE}$；△ABE中，$cos∠EBA=\frac{BE}{2AO}=sin∠ACB$，BE=2AOsin∠ACB，代入化簡基礎(chǔ)即可得出．

解答 （1）證明：連接OE，AE，∵AC是⊙O的切線，DE也是⊙O的切線，
∴弦切角∠CAE=∠DEA，∴△ADE是等腰三角形，AD=DE，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°=∠CEA．
∴D是△AEC的外心，即是AC的中點．
（2）解：$sin∠ACB=\frac{2AO}{CE+BE}=\frac{2AO}{3AO+BE}$；△ABE中，$cos∠EBA=\frac{BE}{2AO}=sin∠ACB$，BE=2AOsin∠ACB；
∴$sin∠ACB=\frac{2AO}{3AO+2AOsin∠ACB}=\frac{2}{3+2sin∠ACB}$；
解方程的$sin∠ACB=\frac{1}{2}$，∴銳角∠ACB=30°．

點評 本題考查了圓與切線的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．