Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是D₁D、BD的中點，G在棱CD上，且CG＝．

(1)求證：EF⊥B₁C．

(2)求EF與C₁G所成的角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖建立空間直角坐標系O－xyz，D為坐標原點O， 　　則E(0，0，)，F(，，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)． 　　(1)＝(，，0)－(0，0，)＝(，，)， 　　＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)， 　　·＝×(－1)＋×0＋()×(－1)＝0， 　　∴⊥．∴EF⊥B1C． 　　(2)＝(0，，0)－(0，1，1)＝(0，，－1)， 　　||＝． 　　由(1)，得||＝． 　　∴·＝(，，)·(0，，－1) 　　＝×0＋×()＋()×(－1)＝． 　　∴cos〈，〉＝．

提示：

要證EF⊥B1C，只需證·＝0．要求異面直線EF與C1G所成的角的余弦值，可以用向量夾角公式求出與的夾角．本題幾何體比較特殊，可以建立空間直角坐標系，用坐標運算求解．