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4.已知圓C的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.(α為參數(shù),0≤α<2π),直線l的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=a-2t}\\{y=2\sqrt{3}t}\end{array}\right.(t為參數(shù)).
(Ⅰ)當a=0時,求直線l和圓C交點的直角坐標;
(Ⅱ)以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,若直線l與圓C交于P、Q兩點,若Q間的劣弧長為\frac{8π}{3},求直線l的極坐標方程.

分析 (I)將曲線C化成普通方程,將直線l的參數(shù)方程代入圓的普通方程得出參數(shù)的值,即可求出交點的坐標;
(II)根據(jù)弧長計算圓心角,得出圓心到直線的距離.列出方程解出a,再將直線方程化成極坐標方程.

解答 解:(I)圓C的普通方程為x2+y2=16,
將直線l的參數(shù)方程\left\{\begin{array}{l}{x=-2t}\\{y=2\sqrt{3}t}\end{array}\right.代入圓C的普通方程得:
16t2=16,∴t=1或-1.
\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.
∴直線l和圓C交點的直角坐標為(-2,2\sqrt{3}),(2,-2\sqrt{3}).
(II)∵\widehat{PQ}=\frac{8π}{3},圓C的半徑為4,∴∠PCQ=\frac{2π}{3}
∴圓心C到直線l的距離為\frac{1}{2}PC=2.
∵直線l的普通方程為\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}a=0,
\frac{|\sqrt{3}a|}{2}=2.解得a=±\frac{4\sqrt{3}}{3}
∴直線l的普通方程為\sqrt{3}x+y-4=0,或\sqrt{3}x+y+4=0,
∴直線l的極坐標方程為\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ-4=0或\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ+4=0.

點評 本題考查了參數(shù)方程,極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,直線與圓的位置關系,屬于中檔題.

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