Question

【題目】設(shè)區(qū)間D=[﹣3，3]，定義在D上的函數(shù)f（x）=ax3+bx+1（a＞0，b∈R），集合A={a|x∈D，f（x）≥0}．
（1）若b= ，求集合A；
（2）設(shè)常數(shù)b＜0 ①討論f（x）的單調(diào)性；
②若b＜﹣1，求證：A=．

Answer 1

【答案】
（1）解：當b= 時，f（x）= ，f′（x）= ＞0，

∴f（x）在[﹣3，3]上為增函數(shù)，則 = ．

由 ，解得a ．

∴A={a|x∈D，f（x）≥0}=（0， ]

（2）解：①解：f（x）=ax3+bx+1，f′（x）=3ax2+b，

∵a＞0，b＜0，

∴由f′（x）=3ax2+b=0，得 ＞0，則x= ．

若27a+b≤0，則 ，則f′（x）≤0在[﹣3，3]上恒成立，f（x）在[﹣3，3]上為減函數(shù)；

若27a+b＞0，則當x∈[﹣3， ）∪（ ，3]時，f′（x）＞0，

當x∈（ ）時，f′（x）＜0．

∴函數(shù)的增區(qū)間為[﹣3， ），（ ，3]，減區(qū)間為（ ）；

②證明：當b＜﹣1時，由①可知，當0＜a≤ 時，f（x）在[﹣3，3]上單調(diào)遞減，

∴f（x）min=f（3）=27a+3b+1≤﹣b+3b+1=2b+1＜﹣1＜0，

這與x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在；

當a＞﹣ 時，f（x）在[﹣3， ），（ ，3]上遞增，在（ ）上遞減，

∴f（x）min={f（﹣3），f（ ）}，

若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＜0，這與x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在；

若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＞0，令 ，此時f（x1）= ．

又f′（x1）= ，則 ．

f（x1）= = ．

下面證明 ，也即證﹣4b3＞27a，

∵a＞﹣ ，且﹣27a﹣3b+1＞0，即27a＜﹣3b+1．

再證﹣4b3＞﹣3b+1，

令g（b）=4b3﹣3b+1，則g′（b）=12b2﹣3＞0（b＜﹣1），

∴g（b）在（﹣∞，﹣1]上單調(diào)遞增，則g（b）＜g（﹣1）=0．

即f（x1）＜0，這與x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在．

綜上所述，A=

【解析】（1）把b= 代入函數(shù)解析式，求出導函數(shù)，由f′（x）= ＞0，可知f（x）在[﹣3，3]上為增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，由最小值大于0求得a的取值范圍；（2）①求出函數(shù)的導函數(shù)，解得導函數(shù)的零點，然后根據(jù) 與3的關(guān)系分類求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②當b＜﹣1時，由①可知，當0＜a≤ 時，f（x）在[﹣3，3]上單調(diào)遞減，求得函數(shù)的最小值小于0，這與x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在； 當a＞﹣ 時，由①可得f（x）min={f（﹣3），f（ ）}，若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＜0，這與x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在；若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＞0，證明f（ ）＜0，這與x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．