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7.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知向量m=(sinA,sinB+sinC),向量n=(b-c,a-c),且mn
(1)求角B;
(2)求sinA•cosC的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)題意和向量共線的坐標(biāo)運算列出方程,由正弦定理化簡后,由余弦定理求出cosB的值,由B的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B;
(2)由(1)和內(nèi)角和定理表示出C,由二倍角公式及變形、兩角和的正弦公式化簡sinAcosC,由A 的范圍和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出sinAcosC范圍.

解答 解:(1)∵m=(sinA,sinB+sinC),n=(b-c,a-c),且mn
∴sinA(a-c)-(sinB+sinC)(b-c)=0,
由正弦定理得,a(a-c)-(b+c)(b-c)=0,
則a2+c2-b2=ac,
由余弦定理得,cosB=a2+c222ac=12
∵0<B<π,∴B=π3;
(2)由(1)得,A+C=π-π3=2π3,
則sinAcosC=sinAcos(2π3-A)
=sinA(-12cosA+32sinA)=-14sin2A+34(1-cos2A)
=-12sin(2A+π3)+34,
由B=π3可知 0<A<2π3,∴π3<2A+π35π3,
則-1≤sin(2A+π3)≤1,即 34-1234-12sin(2A+π3)≤34+12,
∴sinAcosC的取值范圍是[34-1234+12].

點評 本題考查二倍角公式及變形、兩角和的正弦公式,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),向量共線坐標(biāo)運算,以及正弦定理、余弦定理,考查三角函數(shù)的化簡和求值,考查化簡、運算能力.

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