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7.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知向量m=(sinA,sinB+sinC),向量n=(b-c,a-c),且mn
(1)求角B;
(2)求sinA•cosC的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)題意和向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程,由正弦定理化簡(jiǎn)后,由余弦定理求出cosB的值,由B的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B;
(2)由(1)和內(nèi)角和定理表示出C,由二倍角公式及變形、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)sinAcosC,由A 的范圍和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出sinAcosC范圍.

解答 解:(1)∵m=(sinA,sinB+sinC),n=(b-c,a-c),且mn
∴sinA(a-c)-(sinB+sinC)(b-c)=0,
由正弦定理得,a(a-c)-(b+c)(b-c)=0,
則a2+c2-b2=ac,
由余弦定理得,cosB=a2+c222ac=12,
∵0<B<π,∴B=\frac{π}{3};
(2)由(1)得,A+C=π-\frac{π}{3}=\frac{2π}{3},
則sinAcosC=sinAcos(\frac{2π}{3}-A)
=sinA(-\frac{1}{2}cosA+\frac{\sqrt{3}}{2}sinA)=-\frac{1}{4}sin2A+\frac{\sqrt{3}}{4}(1-cos2A)
=-\frac{1}{2}sin(2A+\frac{π}{3})+\frac{\sqrt{3}}{4}
由B=\frac{π}{3}可知 0<A<\frac{2π}{3},∴\frac{π}{3}<2A+\frac{π}{3}\frac{5π}{3}
則-1≤sin(2A+\frac{π}{3})≤1,即 \frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}sin(2A+\frac{π}{3})≤\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2},
∴sinAcosC的取值范圍是[\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}].

點(diǎn)評(píng) 本題考查二倍角公式及變形、兩角和的正弦公式,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),向量共線坐標(biāo)運(yùn)算,以及正弦定理、余弦定理,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值,考查化簡(jiǎn)、運(yùn)算能力.

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