Question

如圖，二面角α－DC－β是α度的二面角，A為α上一定點(diǎn)，且ΔADC面積為S，DC＝a，過(guò)點(diǎn)A作直線AB，使AB⊥DC且與半平面β成30°的角，求α變化時(shí)，ΔDBC面積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：在α內(nèi)作AE⊥DC于E，則AE為ΔADC的高，則有AE·DC＝，AE＝． 　　由于DC⊥AE，DC⊥AB，則有DC⊥ΔAEB所在的平面，所以DC⊥BE，則∠AEB是二面角α－DC－β的平面角，即∠AEB＝α． 　　又由于DC⊥ΔAEB所在平面，且DC在β上，所以平面β⊥ΔAEB所在平面． 　　令A(yù)F⊥BE于F，則有AF⊥平面β，于是，F(xiàn)B是AB在平面β上的射影，所以∠ABE是AB與β所成的角． 　　∴∠ABE＝30°，在ΔAEB中，有＝，∴EB＝sin(α＋30°)． 　　據(jù)題意，有α∈(0°，180°)，當(dāng)α＝60°時(shí)，有EBmax＝，這時(shí)(SΔDBC)max＝a·＝2S． 　　說(shuō)明：本例對(duì)直線與直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離等概念以及三垂線定理和逆定理的考察是很深刻的，綜合了直線與平面這一章的一些主要知識(shí)．