Question

14．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等邊三角形，AD=DE=2AB=2，F(xiàn)，G分別為AD，DC的中點．
（1）求證：CF⊥平面ABED；
（2）求四棱錐C-ABED的體積；
（3）判斷直線AG與平面BCE的位置關系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥平面ACD得出平面ACD⊥平面ABED，由等邊三角形得出CF⊥AD，利用面面垂直的性質(zhì)得出CF⊥平面ABED；
（2）棱錐的底面ABED為直角梯形，高為CF，代入體積公式計算即可；'
（3）取CE的中點H，連結GH，BH，則可證明四邊形ABHG是平行四邊形，于是AG∥BH，得出AG∥平面BCE．

解答 證明：（1）∵F為等腰△ACD的邊AD的中點
∴CF⊥AD，
∵AB⊥平面ACD，AB?平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED
∵平面ACD∩平面ABED=AD，CF⊥AD，．CF?平面ACD，
∴CF⊥平面ABED．
（2）∵△ACD是邊長為2的等邊三角形，∴CF=$\sqrt{3}$．
∵S_梯形ABED=$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3，
∴${V_{C-ABEF}}=\frac{1}{3}{S_{ABEF}}•CF=\sqrt{3}$．
（3）結論：直線AG∥平面BCE．
證明：取CE的中點H，連結GH，BH，
∵G是CD的中點，
∴GH∥DE，且 GH=$\frac{1}{2}DE$=1，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴GH∥AB，又GH=AB=1，
∴四邊形ABHG為平行四邊形，
∴AG∥BH，又AG?平面BCE，BH?平面BCE，
∴AG∥平面BCE．

點評 本題考查了線面垂直，線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．