Question

15．已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)$P（{-3，\sqrt{3}}）$．
（1）求sin2α-tanα的值；
（2）若函數(shù)f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函數(shù)$g（x）-\sqrt{3}f（{\frac{π}{2}-2x}）-2{f^2}（x）$在區(qū)間$[{0，\frac{2π}{3}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的新定義求解sinα，tanα，利用二倍角求解sin2α，可得sin2α-tanα的值；
（2）根據(jù)f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求解f（x），再求解g（x），根據(jù)區(qū)間$[{0，\frac{2π}{3}}]$上求出內(nèi)層范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解值域．

解答 解：（1）∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)$P（{-3，\sqrt{3}}）$，
∴$sinα=\frac{1}{2}，cosα=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，tanα=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（2）∵f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R，
則f（$\frac{π}{2}-2x$）=cos（$\frac{π}{2}-2x$）
∴$g（x）=\sqrt{3}cos（{\frac{π}{2}-2x}）-2{cos^2}x=\sqrt{3}sin2x-1-cos2x=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）-1$
∵$0≤x≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$
∴$-\frac{1}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{6}}）≤1$，
∴$-2≤2sin（{2x-\frac{π}{6}}）-1≤1$
故函數(shù)$g（x）=\sqrt{3}f（{\frac{π}{2}-2x}）-2{f^2}（x）$在區(qū)間$[{0，\frac{2π}{3}}]$上的值域是[-2，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的定義和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．