Question

某種商品原來(lái)定價(jià)為每件a元時(shí)，每天可售出m件．現(xiàn)在的把定價(jià)降低x個(gè)百分點(diǎn)（即x%）后，售出數(shù)量增加了y個(gè)百分點(diǎn)，且每天的銷(xiāo)售額是原來(lái)的k倍．
（Ⅰ）設(shè)y=nx，其中n是大于1的常數(shù)，試將k寫(xiě)成x的函數(shù)；
（Ⅱ）求銷(xiāo)售額最大時(shí)x的值（結(jié)果可用含n的式子表示）；
（Ⅲ）當(dāng)n=2時(shí)，要使銷(xiāo)售額比原來(lái)有所增加，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)定價(jià)降低x個(gè)百分點(diǎn)（即x%）后，售出數(shù)量增加了y個(gè)百分點(diǎn)，且每天的銷(xiāo)售額是原來(lái)的k倍．可得a（1-x%）•m（1+y%）=kam，再將將y=nx代入，代簡(jiǎn)，即可將k寫(xiě)成x的函數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ），利用配方法可知當(dāng)x=

50(n-1)

n

時(shí)，k值最大，此時(shí)銷(xiāo)售額=amk，所以此時(shí)銷(xiāo)售額也最大．
（Ⅲ）當(dāng)n=2時(shí)，k=-

x2

5000

+

1

100

x+1，要使銷(xiāo)售額有所增加，即k＞1．從而可得-

x2

5000

+

x

100

＞0，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意得
a（1-x%）•m（1+y%）=kam，
將y=nx代入，代簡(jiǎn)得：
k=-

nx2

10000

+

(n-1)x

100

+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)x=

50(n-1)

n

時(shí)，k值最大，此時(shí)銷(xiāo)售額=amk，所以此時(shí)銷(xiāo)售額也最大．
且銷(xiāo)售額最大為

(n+1)2ma

4n

元．
（Ⅲ）當(dāng)n=2時(shí)，k=-

x2

5000

+

1

100

x+1，
要使銷(xiāo)售額有所增加，即k＞1．所以
-

x2

5000

+

x

100

＞0，
故x∈（0，50）
這就是說(shuō)，當(dāng)銷(xiāo)售額有所增加時(shí)，降價(jià)幅度的范圍需要在原價(jià)的一半以?xún)?nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為依托，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查二次函數(shù)最值的求解，屬于中檔題．