已知中心在原點、焦點在x軸上的橢圓的離心率是
3
2
,橢圓上任意一點到兩個焦點距離之和為4.
(1)求橢圓標準方程;
(2)設橢圓長軸的左端點為A,P是橢圓上且位于第一象限的任意一點,ABOP,點B在橢圓上,R為直線AB與y軸的交點,證明:
AB
AR
=2
OP
2
(1)根據(jù)題設,可設橢圓標準方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

則離心率e=
c
a
=
3
2
c2=a2-b2(c>0)
,由橢圓定義,得2a=4
解得a=2,b=1,c=
3

所以橢圓標準方程為:
x2
4
+y2=1

(2)證明:由題意得A(-2,0),設P(x1,y1),B(x2,y2),R(0,y3),其中x1>0,y1>0,
點P和點B都在橢圓上,則有
x21
4
+
y21
=1

x22
4
+
y22
=1

由ABOP,有kOP=
y1-0
x1-0
=kAB=
y2-0
x2-(-2)
,
y1
x1
=
y2
x2+2

由x1>0,y1>0可知x2≠-2.
AB直線方程為:y-0=kAB[x-(-2)],即y=
y2
x2+2
(x+2)

把R(0,y3)代入,得y3=
2y2
x2+2

所以有
AB
=(x2+2,y2)
,
OP
=(x2,y2)
,
AR
=(2,
2y2
x2+2
)
,
可得:
AB
AR
=2(x2+2)+
2
y22
x2+2

2|
OP
|2=2(
x21
+
y21
)

由①,②,③得:
x21
=x2+2

由①,⑤得:2|
OP
|2=2(
x21
+
y21
)=2+
3
2
x21

由②,④得:
AB
AR
=2(x2+2)+
2
y22
x2+2
=5+
3
2
x2

由⑦,⑥得:2|
OP
|2=2(
x21
+
y21
)=2+
3
2
x21
=5+
3
2
x2

由⑧,⑨可證得:
AB
AR
=2
OP
2
練習冊系列答案
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3
2
,實軸長為4,則雙曲線的方程是
x2
4
-
y2
5 
=1
x2
4
-
y2
5 
=1

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3
)且離心率為2,則雙曲線C的標準方程為
x2
3
-
y2
9
=1
x2
3
-
y2
9
=1

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1
2
x
,則此雙曲線的離心率為( 。

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3
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,則該雙曲線的離心率為(  )

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