Question

M為△ABC內一點，過點M的一直線交AB邊于P，交AC邊于點Q，則條件p：“

AB

AP

+

AC

AQ

=3”是條件q：“M點是△ABC的重心”成立的（　�。�

• A、充分而不必要條件
• B、必要而不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分又不必要條件

Answer 1

分析：根據三角形中線段長度之間的等量關系判斷出條件p成立時，條件q也成立；反之通過三角形的重心滿足的性質：到頂點距離等于到對邊中點的2倍判斷出條件q成立得到條件p成立，利用充要條件的定義加以判斷．

解答：解：①∵P為AB邊上（除A外）的任意一點所以當P與B重合時，
可得，

AB

AB

+

AC

AQ

=3
∴

AC

AQ

=2，
此時Q為AC邊中點，
即直線BM過AC邊中點．
同理，因為Q為AC邊上（除A外）的任意一點
∴當Q與C重合時，可得，

AB

AP

+

AC

AC

=3
∴

AB

AP

=2，此時P為AB邊中點，
即直線CM過AB邊中點
設D為AC邊中點，E為AB邊中點，連接ED，直線AM分別交ED、BC于G、F，
∵ED是△ABC的一條中位線，
∴

EG

BF

=

AE

AB

=

1

2

∵

EG

FC

=

EM

MC

=

DM

MB

=

ED

BC

=

1

2

，

∴

EG

BF

=

EG

FC

=

1

2

，
∴BF=FC
∵BF=FC，
∴F為BC邊上中點因為直線BM過AC邊中點D，直線CM過AB邊中點E，直線 AM過BC邊中點F
∴M為△ABC的重心．
②若已知M為重心，亦可求證：

AB

AP

+

AC

AQ

=3．
證明：作BF、CE平行于PQ，分別交AC、AB于F、E，
AM的延長分別交CE、BC、BF于G、D、H，
∵M為△ABC的重心，
∴D為BC邊中點
∵BF平行于PQ，CE平行于PQ，
∴BF平行于CE
∵BD=DC，BF平行于CE，
∴GD=DH
∵M為△ABC的重心，
∴AM=2MD=MD+（MG+GD）
∵GD=DH，AM=MD+（MG+GD）
∴AM=MD+MG+DH=（MD+DH）+MG=MH+MG
∵AM=MH+MG，
∴3AM=（AM+MH）+（AM+MG）=AH+AG
∵3AM=AH+AG
∴3=

AH

AM

+

AG

AM

∵BF平行于PQ，
∴

AH

AM

=

AB

AP

∵CE平行于PQ，
∴

AG

AM

=

AC

AQ

3=

AH

AM

+

AG

AM

=

AB

AP

+

AC

AQ

∴

AB

AP

+

AC

AQ

=3
∴p是q的充要條件
故選C

點評：判斷應該條件是另一個條件的什么條件，應該先判斷前者成立是否能推出后者成立，反之后者成立是否能推出前者成立，再利用充要條件的定義加以判斷；解決三角形的重心問題要注意三角形的重心滿足的性質：到頂點距離等于到對邊中點的2倍．