Question

某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)促銷(xiāo)活動(dòng)，促銷(xiāo)規(guī)則如下：到該商場(chǎng)購(gòu)物消費(fèi)滿(mǎn)100元就可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)一次，進(jìn)行抽獎(jiǎng)（轉(zhuǎn)盤(pán)為十二等分的圓盤(pán)），滿(mǎn)200元轉(zhuǎn)兩次，以此類(lèi)推；在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，假定指針停在轉(zhuǎn)盤(pán)的任一位置都是等可能的，若轉(zhuǎn)盤(pán)的指針落在A區(qū)域，則顧客中一等獎(jiǎng)，獲得10元獎(jiǎng)金，若轉(zhuǎn)盤(pán)落在B區(qū)域或C區(qū)域，則顧客中二等獎(jiǎng)，獲得5元獎(jiǎng)金；若轉(zhuǎn)盤(pán)指針落在其它區(qū)域則不中獎(jiǎng)（若指針停到兩區(qū)間的實(shí)線(xiàn)處，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)）．若顧客在一次消費(fèi)中多次中獎(jiǎng)，則對(duì)其獎(jiǎng)勵(lì)進(jìn)行累加．已知顧客甲到該商場(chǎng)購(gòu)物消費(fèi)了268元，并按照規(guī)則能與了促銷(xiāo)活動(dòng)．
（Ⅰ） 求顧客甲中一等獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ） 記ξ為顧客甲所得的獎(jiǎng)金數(shù)，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 設(shè)事件A表示該顧客中一等獎(jiǎng)，利用排列組合知識(shí)能求出該顧客中一等獎(jiǎng)的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為20，15，10，5，0，分別求出P（ξ=20），P（ξ=15），P（ξ=10），P（ξ=5），P（ξ=0），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)事件A表示該顧客中一等獎(jiǎng)，
則P（A）=

1

12

×

1

12

+2×

1

12

×

11

12

=

23

144

．
所以該顧客中一等獎(jiǎng)的概率是

23

144

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為20，15，10，5，0
P（ξ=20）=

1

12

×

1

12

=

1

144

，P（ξ=15）=2×

1

12

×

2

12

=

1

36

，
P（ξ=10）=

1

12

×

1

12

+2×

1

12

×

9

12

=

11

72

，
P（ξ=5）=2×

2

12

×

9

12

=

1

4

，P（ξ=0）=

9

12

×

9

12

=

9

16

，（每個(gè)1分）
所以ξ的分布列為

ξ	20	15	10	5	0
P	1 144	1 36	11 72	1 4	9 16

數(shù)學(xué)期望Eξ=20×

1

144

+15×

1

36

+10×

11

72

+5×

1

4

=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．