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19.是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為14?若存在,求出a的值;若不存在,說(shuō)明理由.

分析 先令t=ax,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),再結(jié)合a>1或0<a<1確定出t的范圍,結(jié)合單調(diào)性確定何時(shí)取最大值列出方程即可.

解答 解:令t=ax>0
則原函數(shù)化為y=t2+2t-1=(t+1)2-2
結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知該函數(shù)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)
結(jié)合x(chóng)∈[-1,1],
則當(dāng)a>1時(shí),t=ax∈[1a,a],所以ymax=a2+2a-1=14,解得a=3或-5(舍),所以此時(shí)a=3符合題意;
當(dāng)0<a<1時(shí),t=ax∈[a,1a],所以ymax=1a2+2a-1=14,解得1a=3或-5(舍),故a=13符合題意;
綜上,所求實(shí)數(shù)a的值為3或13

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求最值,利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題是關(guān)鍵.

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