Question

如圖，l₁、l₂是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段.點A、B在l₁上,C在l₂上,AM=MB=MN.?

(1)證明AC⊥NB;?

(2)若∠ACB=60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖建立空間直角坐標系M梮yz，令MN=1，? 則有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）.? (1)證明：∵MN是l1、l2的公垂線.l2⊥l1, ∴l(xiāng)2⊥平面ABN.? ∴l(xiāng)2平行于z軸? 故可設C(0,1,m)　　 于是=(1,1,m),=(1,-1,0),? ∵·=1+（-1）+0=0，∴AC⊥NB.? (2)解：∵=(1,1,m), =(-1,1,m). ∴||=||,又已知∠ACD=60°,? ∴△ABC為正三角形，AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中，NB=，可得NC=，故C（0，1，）.連結(jié)MC，作NH⊥MC于H，設Ｈ（0，λ, λ）(λ＞0).? ∴=(0,1-λ,- λ),=(0,1, ),? ∵·=1-λ-2λ=0,? ∴λ=.? ∴H(0,,),可得HN=（0，，-），連結(jié)BH，則BH=（-1，，）.? ∵·=0+-=0，? ∴⊥.? 又MC∩BH=H,? ∴HN⊥平面ABC，∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=（-1，1，0），? ∴cos∠NBH===.