已知．
（1）當時，求的最大值；
（2）求證：恒成立；
（3）求證：．（參考數(shù)據(jù)：）

（1）的最大值為0；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）設，求導利用單調性即可得其最大值；.
（2）由（1）得，，變形即得左邊的不等式：.右邊不等式顯然不宜直接作差，故考慮作適當?shù)淖冃?為了證右邊，設.求導得.的符號還不能直接確定.為了確定的符號，再設，求導得，所以即由此可知即，從而原命題得證；（3）首先看看所證不等式與第（2）題有何聯(lián)系.對照待證不等式，可將（2）題中的不等式變形為：.顯然取，得.右邊易證如下：；左邊則應考慮做縮小變形.由于左邊為，故將縮為一個等差數(shù)列.因為，所以考慮把縮小為.
當時，，這樣累加，再用等差數(shù)列的求和公式即可使問題得證.
試題解析：（1）設，則
，
所以在區(qū)間內單調遞減，故的最大值為；  （4分）
（2）由（1）得，對，都有，即，
因為，所以.                          （6分）
設，則
.
設，則，
所以在區(qū)間內單調遞增，故即.
所以在區(qū)間內單調遞增，故即，
因為，所以.
從而原命題得證.                           （9分）
（3）由（2）得，，
令，得.
所以；  （11分）
另一方面，當時，，
所以
從而命題得證.                             （14分）
考點：1、導數(shù)及其應用；2、不等式的證明.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點在圓弧上，點在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（1）求關于的函數(shù)關系式？
（2）求圓柱形罐子體積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．

（1）求V關于θ的函數(shù)表達式；
（2）求的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（2）當a=1時，求函數(shù)在區(qū)間[t，t+3]上的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知在處取得極值，且在點處的切線斜率為.
⑴求的單調增區(qū)間；
⑵若關于的方程在區(qū)間上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)，，.
（1）若，求的單調遞增區(qū)間；
（2）若曲線與軸相切于異于原點的一點，且的極小值為，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的極值；
（2）設函數(shù)若函數(shù)在上恰有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)（其中），，已知它們在處有相同的切線.
(1)求函數(shù)，的解析式；
(2)求函數(shù)在上的最小值；
(3)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2＋clnx，且g(x)在點(1，g(1))處的切線方程為2y－1＝0.
(1)求g(x)的解析式；
(2)設函數(shù)G(x)＝若方程G(x)＝a2有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案