Question

在不等式組

0≤a≤3 0≤b≤2

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)（a，b），則關(guān)于x的方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的概率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：首先分析一元二次方程有實(shí)根的條件，得到a²≥b²．本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，滿(mǎn)足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)概率等于面積之比，得到概率．

解答： 解：方程有實(shí)根時(shí)，△=（2a）²-4b²≥0，即a²≥b²．記方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的事件為A．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），由于a∈[0，3]，b∈[0，2]，所以，所有的點(diǎn)M對(duì)構(gòu)成坐標(biāo)平面上一個(gè)區(qū)域（如圖中的矩形OABC），即所有的基本事件構(gòu)成坐標(biāo)平面上的區(qū)域OABC，其面積為2×3=6．
由于a在[0，3]上隨機(jī)抽取，b在[0，2]上隨機(jī)抽取，
所以，組成區(qū)域OABC的所有基本事件是等可能性的．
又由于滿(mǎn)足條件0≤a≤3，且0≤b≤2，且a²≥b²，即a≥b的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為

1

2

×（1+3）×2=4，
所以，事件A組成平面區(qū)域的面積為4，所以P（A）=

4

6

=

2

3

．
所以，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的概率為

2

3

．
故答案為：

2

3

點(diǎn)評(píng)：古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，概率的值是通過(guò)長(zhǎng)度、面積、和體積的比值得到．