Question

（文） 定義：區(qū)間[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的長度為x₂-x₁．已知函數(shù)y=2^|x|的定義域為[a，b]，值域為[1，2]，則區(qū)間[a，b]的長度的最大值與最小值的差為

 

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Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意可知當x≥0時，函數(shù)的定義域為[0，1]；當x≤0時，函數(shù)的定義域為[-1，0]．所以函數(shù)的定義域為[-1，1]此時長度為最大等于1-（-1）=2，而[0，1]或[-1，0]都可為區(qū)間的最小長度等于1，所以最大值與最小值的差為1．

解答： 解：當x≥0時，y=2^x，因為函數(shù)值域為[1，2]即1=2⁰≤2^x≤2=2¹，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的增減性得到0≤x≤1；
當x≤0時，y=2^-x，因為函數(shù)值域為[1，2]即1=2⁰≤2^-x≤2=2¹，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的增減性得到0≤-x≤1即-1≤x≤0．
故[a，b]的長度的最大值為1-（-1）=2，最小值為1-0=1或0-（-1）=1，則區(qū)間[a，b]的長度的最大值與最小值的差為1
故答案為：1

點評：考查學生理解掌握指數(shù)函數(shù)定義域和值域的能力，運用指數(shù)函數(shù)圖象增減性解決數(shù)學問題的能力．