Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=-x²+ax．
（1）函數h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數，求a的取值范圍；
（2）在（1）的結論下，設?（x）=e^2x+ae^x，x∈[0，ln2]，求函數?（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）h（x）在（0，+∞）上是增函數，轉化為h′(x)=

1

x

+2x-a≥0對x∈（0，+∞）恒成立，分離參數，利用基本不等式，即可確定b的取值范圍；
（2）設t=e^x，則函數化為y=t²+at，t∈[1，2]，利用配方法，討論函數在[1，2]上的單調性，即可求得函數?（x）的最小值．

解答：解：（1）依題意：h（x）=lnx+x²-ax
∵h（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴h′(x)=

1

x

+2x-a≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤

1

x

+2x，
∵x＞0，則 

1

x

+2x≥2

2

．
∴b的取值范圍是(-∞，2

2

]．
（2）設t=e^x，則函數化為y=t²+at，t∈[1，2]
∵y=(t+

a

2

)2-

a2

4

當-

a

2

≤1，即-2≤a≤2

2

時，函數y在[1，2]上為增函數，
∴當t=1時，y_min=a+1；
當1＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜-2時，t=-

a

2

，y_min=-

a2

4

；
當-

a

2

≥2，即a≤-4時，函數y在[1，2]上為減函數，
∴當t=2時，y_min=2a+4．
綜上所述：?(x)=

a+1，-2≤a≤2 2 - a2 4 ，-4＜a＜-2； 2a+4，a≤-4．

點評：本題考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查函數的最值，解題的關鍵是求導函數，利用分離參數法確定參數的范圍．