已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a,|OB|=b(a＞2,b＞2).

(1)求（a-2）(b-2)的值；

（2）求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程;

（3）求△AOB面積的最小值.

解析：（1）由題意知，直線l的方程為=1,即bx+ay-ab=0.曲線C的方程配方得（x-1）2+(y-1)2=1,∴直線l與圓C相切的充要條件是1=，整理得ab-2a-2b+2=0,即（a-2）(b-2)=2.

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x,y）,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得a=2x,b=2y,代入（1）的結(jié)論：（2x-2）(2y-2)=2,即 （x-1）(y-1)=(其中x＞1,y＞1),這便是中點(diǎn)M的軌跡方程.

(3)S△AOB=ab,由（1）知ab=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2+3=2+3.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2+時(shí)上式取等號(hào)，∴S△AOB的最小值為2+3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l分別交x軸、y軸于A（a，0）、B（0，b）兩點(diǎn)（a＞2，b＞2），O為原點(diǎn)．
（1）求證：（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l與x軸、y軸的正半軸交于兩點(diǎn)A、B；O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求證：曲線C與直線l相切的條件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求△AOB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l分別交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求證：若曲線C與直線l相切，則有（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x，y的正半軸與A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）求ab的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求證：曲線C與直線l相切的條件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程．

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