Question

【題目】已知圓O：x2+y2=1和定點(diǎn)A（2，1），由圓O外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線(xiàn)PQ，PM，切點(diǎn)為Q，M，且滿(mǎn)足|PQ|=|PA|．

（1）求實(shí)數(shù)a，b間滿(mǎn)足的等量關(guān)系；
（2）若以P為圓心的圓P與圓O有公共點(diǎn)，試求圓P的半徑最小時(shí)圓P的方程；
（3）當(dāng)P點(diǎn)的位置發(fā)生變化時(shí)，直線(xiàn)QM是否過(guò)定點(diǎn)，如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：連OP，∵Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2．

∵|PQ|=|PA|故PA2=PO2﹣1

∴a2+b2﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2

化簡(jiǎn)可得，2a+b﹣3=0

（2）解：設(shè)圓P的半徑為R，

∵圓P與圓O有公共點(diǎn)，且半徑最小，

∴R=|OP|= = = ，

故當(dāng)a= 時(shí)，|OP|min=

此時(shí)，b= ，Rmin= ﹣1．

得半徑取最小值時(shí)圓P的方程為 ；

（3）解：設(shè)Q（x1，y1），M（x2，y2），則

化簡(jiǎn)得ax1+by1=1，

同理ax2+by2=1．

所以，直線(xiàn)MQ的方程為ax+by=1．

∵b=3﹣2a，代入上式得（x﹣2y）a+3y﹣1=0，

令x﹣2y=0，3y﹣1=0，得x= ，y= ，

∴直線(xiàn)MQ過(guò)定點(diǎn)（ ）．

【解析】（1）由已知Q為切點(diǎn)，可知PQ⊥OQ，結(jié)合勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2及已知|PQ|=|PA|，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得a，b之間的關(guān)系（2）設(shè)圓P的半徑為R，由圓P與圓O有公共點(diǎn)，且半徑最小，可知R=OP，利用兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合（1）中a，b的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次形式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求R的最小值，進(jìn)而可求圓的方程；（3）求出直線(xiàn)MQ的方程，結(jié)合b=3﹣2a，即可得出結(jié)論．