Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n+1=S_n-n+3，n∈N⁺，a₁=2．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項；
（Ⅱ）設的前n項和為T_n，證明：T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題中所給的a_n+1=S_n-n+3，可得a_n=s_n-1-（n-1）+3，兩者相減即可得出遞推式，進而求出數列{a_n}的通項．
（2）根據題中所給的式子，求出b_n的通項公式，進而求出的前n項和T_n，再比較它與的大小．
解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n-n+3，n≥2時，a_n=S_n-1-（n-1）+3，（2分）∴a_n+1-a_n=a_n-1，即a_n+1=2a_n-1，∴a_n+1-1=2（a_n-1），（n≥2，n∈N*），（4分）∴a_n-1=（a₂-1）2^n-2=3•2^n-2a_n=（6分）
（Ⅱ）∵S_n=a_n+1+n-3=3•2^n-1+n-2，∴（8分）∴
相減得，，（10分）
∴＜．（12分）
∴結論成立．
點評：此題主要考查根據數列通項公式之間關系求解及相關計算．