Question

在ABC中，已知內(nèi)角A=

π

3

，BC=2

3

，設(shè)內(nèi)角B=x，周長為y．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正弦定理，算出AC=4sinx且AB=4sin（

2π

3

-x），由此得到三角形周長關(guān)于x的表達(dá)式，再利用三角恒等變換的公式進(jìn)行化簡，即可得到函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；
（II）由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的公式解出x的范圍，并結(jié)合x∈（0，

2π

3

）取交集，即可得到函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理，得

AC

sinx

=

2 3

sin π 3

∴AC=

2 3

3 2

sinx=4sinx…．（2分）
同理，

AB

sin( 2π 3 -x)

=

2 3

sin π 3

，得AB=4sin（

2π

3

-x）…．（4分）
∴y=4sinx+4sin（

2π

3

-x）+2

3

=4

3

sin（x+

π

6

）+2

3

…．（6分）
所以，函數(shù)y=f（x）的解析式為y=4

3

sin（x+

π

6

）+2

3

，定義域?yàn)?span id="45o8dvl" class="MathJye">{x|0＜x＜

2π

3

}…．（7分）
（Ⅱ）要求函數(shù)y=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

的單調(diào)遞增區(qū)間，
則須滿足：2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)，…（8分）
即2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

 (k∈Z)…（10分）
又∵0＜x＜

2π

3

，∴取k=0得0≤x＜

π

3

因此，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0 ， 

π

3

)…（12分）

點(diǎn)評：本題以三角形的周長為載體，求函數(shù)函數(shù)y=f（x）的解析式、定義域和單調(diào)區(qū)間．著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．