Question

19．m為整數(shù)，關(guān)于x的不等式|2x-m|≤1的整數(shù)解有且僅有一個值為3．
（1）求整數(shù)m的值；
（2）對滿足已知不等式的x，證明：$\sqrt{2x+m}$-$\sqrt{x-1}$＞2．

Answer 1

分析 （1）解絕對值不等式得$\frac{m-1}{2}$≤x≤$\frac{m+1}{2}$，由于整數(shù)解有且僅有一個值為3，得到關(guān)于m的不等式組，由此求得整數(shù)m的值；
（2）求出x的范圍，將m=6代入不等式，證明即可．

解答 解：（1）由關(guān)于x的不等式：|2x-m|≤1，
可得-1≤2x-m≤1，
解得：$\frac{m-1}{2}$≤x≤$\frac{m+1}{2}$，
由于整數(shù)解有且僅有一個值為3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2＜\frac{m-1}{2}＜3}\\{3＜\frac{m+1}{2}＜4}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{5＜m＜7}\\{5＜m＜7}\end{array}\right.$，故 m=6，
（2）由（1）得：$\frac{5}{2}$≤x≤$\frac{7}{2}$，
問題轉(zhuǎn)化為證明$\sqrt{2x+6}$-$\sqrt{x-1}$＞2，
即證明$\sqrt{2x+6}$＞2+$\sqrt{x-1}$，
即證明2x+6＞4+4$\sqrt{x-1}$+x-1，
即證明x+3＞4$\sqrt{x-1}$，
即證明x²+6x+9＞16（x-1），
即證明（x-5）²＞0，
即證明x≠5，
顯然成立．

點評 不同考查了解絕對值不等式問題，考查不等式的證明，是一道中檔題．