Question

（2009•長寧區(qū)二模）已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記點P的軌跡為E，．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過點F₂且法向量為

n

=(a，1)，直線與軌跡E交于P、Q兩點．
①過P、Q作y軸的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記|PQ|=λ|AB|，試確定λ的取值范圍；
②在x軸上是否存在定點M，無論直線l繞點F₂怎樣轉(zhuǎn)動，使

MP

?

MQ

=0恒成立？如果存在，求出定點M；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，從而寫出軌跡E的方程即可．
（2）①當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，利用距離公式分別表示PQ|、|AB|，從而可求λ的取值范圍；
②當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關系利用向量垂直關系即可求得m值，從而解決問題．

解答：解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的雙曲線的右支．
軌跡方程為x2-

y2

3

=1(x≥1)．
（2）直線l的方程為a（x-2）+y=0，
由

y=-a(x-2) x2- y2 3 =1

得（a²-3）x²-4a²x+4a²+3=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由條件得

a2-3≠0 △=16a4-4(a2-3)(4a2+3)＞0 x1+x2= 4a2 a2-3 ＞0 x1x2= 4a2+3 a2-3 ＞0

解得a²＞3即a∈(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)．

①|PQ|=

1+a2

|x1-x2|，|AB|=|y₁-y₂|=|a||x₁-x₂|
由條件

n

=(a，1)，故x₁≠x₂，∴λ=

|PQ|

|AB|

=

1+a2

|a|

=

1+ 1 a2

，
因為a²＞3，因此λ∈(1，

2

3

3

)．
②設存在點M（m，0）滿足條件，由

MP

?

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(a2+1)x1x2-(2a2+m)(x1+x2)+m2+4a2
=

3-(4m+5)a2

a2-3

+m2=0，
得3（1-m²）+a²（m²-4m-5）=0對任意a²＞3恒成立，
所以

1-m2=0 m2-4m-5=0

，解得m=-1，
因此存在定點M（-1，0）滿足條件．

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合應用，主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程，利用兩個向量的數(shù)量積公式及雙曲線的性質(zhì)解決具體問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．