Question

已知直線ax+by=1和點A（b，a）（其中a，b都是正實數），若直線過點P（1，1），則以坐標原點O為圓心，OA長為半徑的圓面積的最小值等于

π

2

．

Answer 1

分析：直線ax+by=1過點P（1，1），則a+b=1，以坐標原點O為圓心，OA長為半徑的圓面積的最小時，OA最小，利用基本不等式可求結論．

解答：解：∵直線ax+by=1過點P（1，1），∴a+b=1，
以坐標原點O為圓心，OA長為半徑的圓面積的最小時，OA最小，
∵A（b，a），∴OA=

a2+b2

，
∵a²+b²≥2ab，
∴2（a²+b²）≥（a+b）²=1，
∴OA≥

2

2

，
∴以坐標原點O為圓心，OA長為半徑的圓面積的最小值等于

π

2

．
故答案為：

π

2

．

點評：本題考查基本不等式在最值問題中的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．