Question

11．如圖，已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若不過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=0$，試問直線l能否過定點(diǎn)，說明理由．

Answer 1

分析 （1）確定圓M的圓心和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式可知$\frac{丨3+c-c丨}{\sqrt{{c}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，求得c的值，由橢圓的幾何性質(zhì)可知a²=b²+c²，求得a的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線AP的方程y=kx+1，則直線AQ的方程為y=-$\frac{1}{k}$+1（k≠0），分別代入橢圓方程，求得P和Q的坐標(biāo)，求得直線l的方程，即可求得直線l能否過定點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）．

解答 解：（1）由圓的一般方程x²+y²-6x-2y+7=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-3）²+（y-1）²=3，
∴圓心為（3，1），半徑為$\sqrt{3}$，
由A（0，1），F(xiàn)（c，0），
直線AF：$\frac{x}{c}$+y=1，即x+cy-c=0，
直線AF與圓M相切，
$\frac{丨3+c-c丨}{\sqrt{{c}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得c=$\sqrt{2}$，
由a²=b²+c²=1+2=3，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=0$，設(shè)AP的方程為：y=kx+1，
將y=kx+1代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得：x=0或x=-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
∴P（-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$+1），
將上式的k換成-$\frac{1}{k}$，可知：（$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$），
直線l的方程為：y=$\frac{\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}-\frac{1-{3k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}{\frac{6k}{{k}^{2}+3}+\frac{6k}{1+3{k}^{2}}}$（x-$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$）+$\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$，
整理得：y=$\frac{4{k}^{2}-1}{4k}$-$\frac{1}{2}$，
∴直線l能否過定點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理得應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．