16.已知雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線C上一點,Q為雙曲線C漸近線上一點,P,Q均位于第一象限,且$\widehat{QP}$=$\widehat{P{F}_{2}}$,$\widehat{Q{F}_{1}}$•$\widehat{Q{F}_{2}}$=0,則雙曲線C的離心率為( 。
A.$\sqrt{5}$-1B.$\sqrt{3}$C.$\sqrt{3}$+1D.$\sqrt{5}$+1

分析 利用已知條件可得P是Q,F(xiàn)2的中點,$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$,由條件求出Q坐標(biāo),由中點坐標(biāo)公式,求出P的坐標(biāo),代入雙曲線方程,即可求解雙曲線的離心率.

解答 解:雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
P為雙曲線C上一點,Q為雙曲線C漸近線上一點,P、Q均位于第一象限,
且$\widehat{QP}$=$\widehat{P{F}_{2}}$,$\widehat{Q{F}_{1}}$•$\widehat{Q{F}_{2}}$=0,
可知P是Q,F(xiàn)2的中點,$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$,
Q在直線bx-ay=0上,并且|OQ|=c,則Q(a,b),
則P($\frac{a+c}{2}$,$\frac{2}$),
代入雙曲線方程可得:$\frac{(a+c)^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{^{2}}{4^{2}}$=1,
即有$\frac{a+c}{a}$=$\sqrt{5}$,
即1+e=$\sqrt{5}$.
可得e=$\sqrt{5}$-1.
故選:A.

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,離心率的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于中檔題.

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